Control System

Matlab & Math & Simulink

Matlab

% roots：求多项式的根
p=[1 2 3 4];
r=roots(p);

% poly：由根求多项式
p=poly(r);

% conv：多项式相乘
p=[1 2];q=[3 4];
r=conv(p,q);

% polyval：求多项式某点值
value=polyval(r,1);

% tf：系统传递函数
a=[1 2];%分子
b=[3 4];%分母
sys=tf(a,b);

% pole、zero求传递函数零极点
pole(sys);zero(sys);

% zplane、pzmap：画零极点图
[P,Z]=pzmap(sys);

% 系统传递函数串并联、反馈
sys=series(sys1,sys2);
sys=parallel(sys1,sys2);
sys=feedback(sys1,sys2,sign);%默认负反馈

% minreal：消除相同零极点因子
sys=minreal(sys1);

% step：获得单位阶跃响应结果
t=[0:0.001:5];
[y,t]=step(sys,t);plot(t,y)

%矩阵表示：i选择所有行，2选择第二列
p(;,2)

% Laplace& ilaplace
syms t s a
F1=laplace(sin(a*t),t,s);%t、s可以省略
F2=ilaplace(F1,s,t);%t、s可以省略

% lsim: 线性系统模拟，给定任意输入矩阵&系统函数,得输出矩阵
lsim(num,den,u,t)
lsim(sys,u,t)

% rlocus: 绘制根轨迹，输入是标准形式下的Z(s)/P(s)
sys=zpk(z,p,1);
[R,K]=rlocus(sys);%构建数组
rlocus(num,den)  
[K,poles]=rlocfind(num,den) %图上选定点

% bode: 绘制Bode Plots
bode(sys)

% 绘制奈氏回线的映射曲线
Nyquist(sys)

Simulink

simulink 无法向前兼容，但是可以保存为之前的版本文件

常用模型

• gain：K
• integrator: $\dfrac1 s$
• transfer FCN：一般s分式表达
• Scope：示波器
• Step：阶跃信号

Math

部分分式法求逆Laplace

1. 单实根

   

2. 重实根
   

   

   乘$(s-p)^i$，求$n-i$阶导，除$(n-i)!$

3. 复数根

   

   原式纯实系数：$A_i\&A_{i+1}$必然共轭，可以通过case1求解

Basic Concepts

• Controller： brain

• Sensor： eye

• Actuator： hand

• Process： 有时候将Actuator包含在内

• Controlled Variables / Output Variables： quantify the performance of the final product

• Manipulated Variables / Input Variables： adjusted dynamically to keep the controlled variables at their set-points

  “被操纵变量”是指为了控制或控制输出而要操作的变量。
  如空调的电流，或炉子的燃料

• Disturbance Variables / Load Variables： cannot be adjusted and may deviate controlled variables

• Set-point change： servo control

• Disturbance / Load change： regulatory control

• Feedback： 一种有评估性信息的结果返回

Equivalent Block Diagram

• 引出点：引出点是没有顺序的，可以理解成在一条干路上引出两个支路，其代表的数值都是相同的
• 比较点：比较点是表示那两个信号在此处相加或者相减

1. 串联等效

   $(X_1G_1)G_2=X_1(G_1G_2)=X_1(G_2G_1)$

   

2. 并联等效

   $RG_1+RG_2+RG_3=R(G_1+G_2+G_3)$

   

3. 反馈等效

   

4. 比较点前移

   

5. 比较点后移

   

6. 引出点前移

   

7. 引出点后移

   

8. 相邻比较点交换&合并

   

   （显然的！）相邻引出点也可以交换位置，但引出点比较点相邻，不可互换位置

应用框图的等效变换计算：

Signal Flow Graph（SFG）

信号流图：框图的简化

• 混合点：SFG中同时实现了比较和引出的节点
• Forward Path前向支路: 从输入到输出，并与每个节点相交至多一次
• Non-touching Loops: two loops with no common node（一个点也不行）

1. SFG绘制时候不能忽略输入输出的这两条：
   

2. 将block diagram转为SFG时需要小心节点的画法：

Mason’s Rule

适用Block Diagram & Signal Flow Graph，直接计算传递函数

$\Delta$配合Routh Array判定稳定性

1. 注意计算回路增益$L_i$时的正负号

2. 梅森公式用于输入和输出节点，即不能在混合节点使用：

   计算y5/y2时：y5是引出点，y2是混合节点，Mason要求两都不是混合节点

   所以需要计算y2/y1和y5/y1传递函数再相除得y5/y2传递函数

3. 没有接触的回路指完全没有接触，一个点也不行

4. 前向支路中节点也不能重走

General Responses

传递函数表示法只适用于LTI系统

非LTI（MIMO）系统需要State Space状态空间表示法

S域

• free response

  zero input $X(s)/x(t)=0$ & nonzero initial conditions $y(0)!=0$

  

• forced response

  zero initial conditions $y(0)=0$ & nonzero inputs $X(s)/x(t)!=0$

  Transfer Function $T(s)=Y(s)/X(s)$

时域

• transient response

  finally 0 if stable

  free response+一部分forced response

• steady state response

  similar form as the forcing input

  另一部分forced response

  $y(\infty)=\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}sY_{forced}(s)$

  In SS value of a stable LTI system, there is NO contribution from ICs. (if stable)

  Proof: $\lim_{s\to 0}sY_{free}(s)=\lim_{s\to 0}s\dfrac{F(s)}{s^n+a_{n-1s^{n-1}}+...+a_0}=0\cdot F(0)/a_0=0$

Transfer Functions

各个闭环传递函数的值可以通过对应置零后，重画框图，套用反馈公式得到

系统开环传递函数（Loop Gain）

$G_1(s)G_2(s)\cdot H(s)$

表示反馈信号和误差信号E(s)的比值

系统闭环传递函数

1. $C(s)对R(s):N(s)=0\to \phi(s)=C(s)/R(s)=\dfrac{G_1(s)G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$
2. $C(s)对N(s):R(s)=0\to \phi_n(s)=C(s)/N(s)=\dfrac{G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$
3. 叠加原理：$C(s)=\phi(s)R(s)+\phi_n(s)N(s)$

系统闭环误差传递函数

1. $E(s)对R(s):N(s)=0\to \phi_e(s)=E(s)/R(s)=\dfrac{1}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$
2. $E(s)对N(s):R(s)=0\to \phi_{en}(s)=E(s)/N(s)=\dfrac{-G_2(s)H(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$
3. 叠加原理：$E(s)=\phi_e(s)R(s)+\phi_{en}(s)N(s)$

Step Response

Why Step response

• 可以体现系统全部响应特征，之后使用叠加、求导等可以得到其余基础响应

  例如：$\delta(t)=\dot u(t)\to y_1(t)=\dot y(t)$

• input： $u(t)$

• s plane: $\dfrac{1}{s}$

1st order system

$\tau \dot y+y=Ku$

• $\tau:time ~constant$

• $K:dc~gain$

• $T(s)=\dfrac{K}{\tau s+1},pole=-1/\tau<0(if ~stable),no~ zeros$

• $y(t)=K(1-e^{-t/\tau})$

  The smaller $\tau$ is,

  the steeper the initial slope is,

  the faster the response approaches the steady state.

2nd order system

$\ddot y+a_1\dot y+a_0y=b_1\dot u+b_0u$

• $T(s)=\dfrac{b_1s+b_0}{s^2+a_1s+a_0},p_{1,2}=\dfrac{-a_1\pm \sqrt{a_1^2-4a_0}}{2},z=-b_0/b_1$
• $if~stable:a_1>0,a_0>0$

standard form of stable 2nd order system without zeros

$\ddot y+a_1\dot y+a_0y=b_0u\Rightarrow$$\ddot{y}+2\xi w_n\dot y+w_n^2y=Kw_n^2u$

• $\xi:damping~ratio$

• $w_n:natural~frequence$

• $K:dc~gain$

• $p_{1,2}=-\xi w_n±\sqrt{\xi^2-1}w_n=-\sigma±w_d$

• $w_d:damped~ angular~(or~ circular)~frequency$

• $\xi>1:over~ damped$

  $\to y(t)=c_1e^{-r_1t}+c_2e^{-r_2t}$

• $\xi=1:critically~damped$

  $\to y(t)=e^{-rt}(c_1t+c_2)$

• $0<\xi<1:under~damped$

  $\to y(t)=K[1-\dfrac{1}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\sigma t}sin(w_dt+\theta)]，\theta=cos^{-1}\xi$

under damped characteristics

• $delay~time~(0\to50\%)~t_d=\dfrac{0.7\xi+1}{w_n}$

• $peak~time~t_p=\dfrac{n\pi}{w_d}$

• $rise~time~(10\%\to90\%)~t_r=\dfrac{\pi-\theta}{w_d}$

• $Overshoot~M_p=y_{max}-y_{ss}=Ke^{-\xi\pi/\sqrt{1-\xi^2}}$

• $percent~overshoot~\%MP=\dfrac{M_p}{y_{ss}-y_0}×100\%=e^{-\pi/tan\theta}×100\%$

• $x\%~band~settling~time~t_s:differ~between~tolerance~bands$

  %	1%	2%	5%
  $t_s(\tau=1/\sigma)$	$4.6\tau$	$3.9\tau$	$3.0\tau$

for a nondominant third pole

$T(s)=\dfrac{1}{(s^2=2\xi s+1)(\gamma s+1)}$

$|1/\gamma|\ge 10|\xi w_n|:$ 近似忽略主极点实部十倍外极点，反之不可忽略

for a zero

$T(s)=\dfrac {\dfrac{w_n^2} a (s+a)}{s^2+2\xi w_ns+w_n^2}$

• 零点和主极点靠近时极大影响系统step response

• 零点远离主极点实部十倍时近似忽略

Routh-Array for Stability

A linear time invariant (LTI) system is stable if and only if (iff) its free response converges to zero for all ICs.

BIBO：有界输入$\Rightarrow$有界输出

• 所有极点处于LHP平面

  稳定、marginally stable（临界稳定）、不稳定

• 系统稳定性仅和极点相关，与零点无关

  传递函数的部分分式分解：零点仅影响具体响应怎么叠加

• $1^{st}、2^{st}$order system is stable iff 特征多项式系数同号

• 任何存在0系数或者异号系数的LTI系统必然存在非LHP pole

  即系数同正负是系统稳定的必要而非充分条件

通用的判定LTI系统稳定性方式：Routh-Hurwitz Criterion（充分必要的！！）

给出了判别实系数多项式有无实部非负根（非LHP平面极点）的充要条件

1. 建立Routh Array（补0）

   

2. 多项式所有零点都位于左半平面等价于「Routh Array首列元素都为正」（如果不是，那么符号改变的次数即为右半平面根的个数

   正负正，符号改变了两次

3. 零的特殊情况

   1. 当某行有0元素出现时，而且这个0后面还有非零元素时。

      此时计算劳斯判据时将0替换成epsilon，然后继续算其它未知元素，最后令epsilon趋向于$0^+$，得到的第一列元素若发生符号的改变，那么系统是不稳定的

   2. 当某一行整行都是0的时候

      此时把全0行的上一行列出P(s)表达式，对P(S)进行求导后把得到的系数填到原本是全零行的地方

   Case1大概率不稳定，Case2必然不稳定（若认为临界稳定也不稳定）

   Case2 occurs when there is an even polynomial factor(因式) such as $s^2+a, s^4+b, s^4+as^2+b$

   即全零行上一行的式子为p(x)的因子式

4. 可用Mason’s law得到$\Delta$即q(s)后使用Routh-Hurwitz Criterion判定稳定性

Feedback

System Error

$Y(s)=\dfrac{G}{1+GH}R(s):~system~error~E(s)=R(s)-Y(s);~E_a(s)=R(s)-HY(s)$

$Closed~Loop~System:~E(s)=\dfrac{1+GH-G}{1+GH}R(s),E_a(s)=\dfrac{1}{1+GH}R(s)$

Sensitivity

G(s)&H(s) may vary due to the environment and exits $\Delta G\&\Delta H$：

Closed loop System：$\Delta Y\approx \dfrac{\Delta G}{(1+GH)^2}R<<\Delta GR$（open loop system）

$Define：~S_a^b = sensitivity~ from~ a ~to~ b =\dfrac{\partial b/b}{\partial a/a}~(越小越好)$

反馈器H(s)往往要求做的精确且稳定！！

运算法则：

Influence

1. 影响稳定性：可能引发系统不稳定

2. 影响瞬态响应速度：本质影响 $\tau$

3. 影响Sensitivity：用增益换线性度

4. 影响DC值&Steady State Error

5. 影响抗干扰能力：本质影响干扰的传输函数&输出对干扰的Sensitivity

   

   • 第一种Disturbance：$Y(s)\approx-\dfrac{1}{H_1}N(s),S_{H_1}^T\approx1$
   • 第二种Disturbance：$Y(s)\approx -\dfrac{1}{G_1H}T_d(s),S_{H_1}^T\approx1$

   反馈器H(s)需要大且稳定！！

Performance

Standard Test Signals

$r(t)=t^n ~\&~R(s)=\dfrac {n!} {s^{n+1}}$

Under-damped 2nd system 常用参数

• $\%MP=5\% \to \xi>0.69 ~\&~ \theta <46°$
• $\theta=cos^{-1}\xi=tan^{-1}(\sqrt{1-\xi^2}/\xi)=tan^{-1}(\sqrt{1-\xi^2}w_n/\xi w_n)$表示夹角

估算ξ

Method1

1. $t_p=\dfrac{n\pi}{\beta w_n},N(~cycle~numbers~in~1s~)=\dfrac{1}{2n\pi/\beta w_n}$
2. $cycles~are~visible~in ~4\tau ~s:2\%~settling~time$
3. $Numbers~of~cycles~visibe:4\tau\cdot\dfrac{1}{2n\pi/\beta w_n}=\dfrac{4\beta}{2\pi \xi}=\dfrac{2\sqrt{1-\xi^2}}{\pi \xi}$

Method2

1. $percent~overshoot~\%MP=\dfrac{M_p}{y_{ss}-y_0}×100\%=e^{-\pi/tan\theta}×100\%=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}×100\%$

定性分析

• 稳定性：极点都在LHP平面
• 快速性：极点远离虚轴
• 平滑性：$\theta$越小，越平滑（极限都是实极点无超调）

Steady State Error

Unit Feedback $H(s)=1$

Standard input signals $r(t)=t^n ~\&~R(s)=\dfrac {n!} {s^{n+1}}$

$G(s)=\dfrac{K\prod (s+z_i)}{s^N\prod(s+p_k)},~Loop~Gain=G(s)\cdot H(s)=G(s)$

$E(s)=R(s)-Y(s)=\dfrac{1}{1+G(s)}R(s),e_{ss}=\lim_{s\to0}sE(s)$

N：System Type Number 原点处极点个数

	$e_{ss}$
N<n	$\infty$
N=n	$\dfrac A {1+K\prod z_i/\prod p_k}$
N>n	0

常用三阶及以下系统$e_{ss}$的有限值计算

• $K_p=\lim_{s\to 0}G(s)$
• $K_v=\lim_{s\to 0}sG(s)$
• $K_a=\lim_{s\to 0}s^2G(s)$

Nonunity Feedback $H(s) \neq 1$

1. Equivalent Block Transformation

   等效变换系统框图使得$H(s)=1$

2. 直接计算

Performance Indices

• $ISE=\int_0^Te^2(t)dt$
• $IAE=\int_0^T|e(t)|dt$
• $ITSE=\int_0^Tte^2(t)dt$
• $ITAE=\int_0^Tt|e(t)|dt$

T：usually equals $T_s$

General form of the performance integral is $I=\int f \left(e(t),~r(t),~y(t),~t\right)~dt$

Optimal Control: Adjust system parameters to min/max the performance index

Standard input signals的系统指标对应最优化系数：可以查表

System Simplification

To approximate a high-order system using a lower-order system, with a minimum difference in the system property of interest.

利用$M_{2q}=\Delta_{2q}（q=1,...）$求解$c_i,d_i$

有时用低阶系统近似高阶系统需要保留其主极点

将L(s)的分母用主极点表示 $\prod (s+p_i)$

分子相应变化即可（$M_{2q}=\Delta_{2q}（q=1,...）$）

Root Locus

开环增益$G(s)=\dfrac{Z(s)}{P(s)}$，反馈$H(s)$： $Loop~Gain~L(s)=G(s)H(s)$

$\to$闭环传递函数$T(s)=\dfrac{G}{1+GH}=\dfrac{Z(s)}{P(s)+HZ(s)}$，特征根方程$L(s)=-1$

$\to 1+H\dfrac{Z(s)}{P(s)}=0,~P(s)+HZ(s)=0$

当一个parameter K从0变化到$~\infty$时，闭环特征根的轨迹变化，进而判定相关特性

以反馈H为例：H从0$\to\infty$时，特征根从$P(s)=0\to Z(s)=0$，即从极点变化到零点

如何快速绘制根轨迹图？

化为 standard form & 应用 rules进行特定 Procedures

Standard Form

调整$\Delta (s)$的表达式，使之形成：$1+k \dfrac{Z(s)}{P(s)}=0$形式

分子m阶，分母n阶，K是从0$\to\infty$的参数

幅角条件

• $k\cdot\dfrac{|Z(s)|}{|P(s)|}=1$
• $\angle Z(s)-\angle P(s)=(2t+1)\pi,t\in Z$

广义根轨迹

• 参数根轨迹：进行等式变换，得到以参数为根轨迹增益的等效传递函数
• 0°根轨迹：对应正反馈形式，即$k\dfrac{Z(s)}{P(s)}=1$

8 Rules

1. 起点&终点：开环极点指向开环零点/无穷远处

2. n条分支：开环极点数（系统阶数）

3. 对称性：根轨迹关于实轴对称

4. 分离点（对应重根）：$\dfrac{d}{ds}\dfrac {Z(s)}{P(s)}=0$ OR $\sum\dfrac{1}{d-p_i}=\sum\dfrac1 {d-s_i}$

5. 虚轴交点：$s=jw$代入特征根方程反解 OR 采用Routh Array 求解

6. 实轴上根轨迹存在性

   • 180°根轨迹：右侧极点数目+零点数目=奇数，存在根轨迹
   • 0°根轨迹：右侧极点数目+零点数目=偶数，存在根轨迹

7. 渐近线：实轴交点在$\dfrac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$

   • 180°根轨迹：$\varphi=\dfrac{(2t+1)\pi}{n-m}$
   • 0°根轨迹：$\varphi=\dfrac{(2t)\pi}{n-m}$

8. 出射角&入射角

   • 180°根轨迹：$\theta_{out}=(2t+1)\pi+\sum\angle zp-\sum\angle pp$
   • 180°根轨迹：$\theta_{in}=(2t+1)\pi+\sum\angle pz-\sum\angle zz$
   • 0°根轨迹：$\theta_{out}=2t\pi+\sum\angle zp-\sum\angle pp$
   • 0°根轨迹：$\theta_{in}=2t\pi+\sum\angle pz-\sum\angle zz$

   零点为入射角，指向零点；极点为出射角，指向极点

   Tips：同型相减，异型相加

   当存在重合的零点或极点：$\dfrac \theta a,a:该点重合的零点或极点个数$

180°根轨迹：奇数，$(2t+1)\pi$

0°根轨迹：偶数，$2t\pi$

Proof (以180°根轨迹为例)

Hints

1. $n-m\ge2:$ 根的和为定值

   $P(s)+kZ(s)=0$，韦达定理中K无法影响 $s^{n-1}$系数

2. 若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧

   

   Proof：$s=\sigma+ jw$代入或利用实系数共轭 $s=\sigma\pm jw$配合韦达定理消$k$

   实际上，当存在2个极点&1~2个零点&根轨迹复平面存在，均为圆弧

   自动控制原理“轨迹圆”若干问题的探讨 - 更多讨论

3. 开环零点对根轨迹影响：吸引渐近线，可以使得不稳定系统转向稳定

   

Procedures

1. 转化为Standard form
2. s-plane图中标出零极点
3. 确定实轴存在根轨迹区域
4. 计算渐近线（与实轴交点、角度）
5. 计算分离点
6. 计算虚轴交点
7. 计算各个零极点的入/出射角

Frequency Response

Basic Concepts

• 线性系统（小信号电路）

• 正弦信号(s=jw)的稳态分析

  magnitude/gain response & phase/delay response

• S域分析：拉普拉斯变换

  

  极点$p_i=-w_{p_i}$，零点$z_i=-w_{z_i}$

• 在绝大多数时，均利用系统的开环传递函数评估闭环系统特性，避免直接计算闭环系统零极点（高次系统难以直接计算）

Bode Plots

Precise Calculation

Bode Plot是指系统开环增益$L(s)=G(s)H(s)$的相频曲线和幅频曲线，若得到了$L(s)的表达式$，即零极点位置和开环静态增益可以精确绘制

Pole-Zero Diagram可以形象描绘并观测频率响应特性

以一对复数极点为例分析：

$G(jw)=\dfrac 1 {1+(2\xi/w_n)jw+(jw/w_n)^2}$

• $20log|G|=-20log\sqrt{(1-w^2/w_n^2)^2+4\xi^2w^2/w_n^2}$
• $\phi=-tan^{-1}(\dfrac{2\xi w_n}{w_n^2}-w^2)$

在Pole-Zero Diagram中可以看出，magnitude和jw到两个极点$p_{1,2}$的长度乘积有关，可能存在极值（称谐振频率$w_r$），对应幅频曲线极值（称谐振峰值$M_p$）

Bode Plot的精确图&极值具体表达式和$\xi$的大小相关：

1. $0<\xi<\dfrac 1{\sqrt2}$

   幅频曲线存在极值，$w_r=w_n\sqrt{1-2\xi^2}$取到最大值$\dfrac 1 {2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$

2. $\dfrac 1 {\sqrt{2}}\le\xi<1$

   幅频曲线单调递减，不存在极值；$\xi=\dfrac 1 {\sqrt{2}}$时恰好$w_r=w_n$

3. $\xi=0$

   $w_n=0\to M_p=\infty$，即无阻尼系统输入信号频率恰好为$w_n$时会输出无穷大幅度的信号，即发生了共振！（可用荡秋千想象）

其他情况(较为简单，直接计算幅度&相位即可)

Quick Estimation

在电路设计时候需要快速画出Bode Plot的近似图表

• 近似前提①：零极点都相互远离，互不影响

  一般都成立，否则在两个极点附近的Bode曲线是各个零极点单独作用的线性叠加，不是很好描绘（45°、3dB Bode定理可能失效，但十倍频率外仍然成立）

• 近似前提②：最小相位系统

  最小相位系统指系统零极点均在LHP平面或原点，且没有延迟单元($e^{-\tau s}$，泰勒展开后保留高次项$1-\tau s$，类似零点)

  存在RHP零极点或延时单元($e^{-\tau s}$)的系统为非最小相位系统，此时Bode Plot的近似法（Bode定理）失效，即无法应用Bode定理快速描绘，需要结合Pole-Zero Diagram描绘

  非最小相角系统的phase shift往往大于最小相角系统

  非最小相角系统未必不稳定，也未必是正反馈

Bode定理

利用最小相位系统、远离的零极点的幅度(绝对值)快速绘制Bode Plot

此时零极点：实际零极点的模

对频率响应的影响和实际零极点所处平面有关、可以叠加

零极点	增益变化	零极点处	十倍频率外	备注
左极点	-20db/dec	-3dB&-45°	-90°	减低gain&phase
右极点	-20db/dec	-3dB&+45°	+90°	系统必然不稳定
左零点	+20db/dec	+3dB&+45°	+90°	提升gain&phase
右零点	+20db/dec	+3dB&-45°	-90°	提升gain、降低phase

极点不同位置对系统稳定性影响（不稳定、等幅震荡、阻尼震荡稳定）

• 零点都是增大gain，极点都是减小gain
• 对phase影响需要看平面

以上节的一对复数极点分析为例：当$w$靠近0和趋向无穷，幅度为0dB & -40dB/dec 相位为0 °&2*-90°，和Bode定理近似结果一致；只有在极点附近，近似忽略了幅度上$w_r$处的Overshoot，而相位仍然-2*45°和和Bode定理近似结果一致

实际上，在模拟电路设计分析中，极点由RC形成，处于实轴上，不会出现一对复数极点的情况，则对单个零极点：Bode定理近似在幅度和相位上均一致！此时多个若能保持多个零极点远离，则能快速绘制Bode Plot

电路设计时，总是将零极点人为地远离

Nyquist Plot

本质是将精确的Bode Plot的幅频响应&相频响应绘制到一个极坐标中，描绘$s=jw=0\to\infty$时，$G(jw)$的变化趋势，又称 幅相特性曲线

Quick Estimation

1. 利用Pole-Zero Diagram确定起点($s=j0$)、终点($s=j\infty$)的幅度和相位
2. 估算途中幅度和相位的变化趋势
3. 如有必要，计算和实轴、虚轴的交点
4. 绘制出Nyquist Plot草图

Common Cases

All in one：

Stability

最准确的方式是采用Nyquist Criteria或Bode Criteria，但常常结合Barkhausen’s Criteria，直接用BodePlot上快速得出PM&GM来判断闭环系统的稳定性。这种方法是快速的但不是充分必要的(不准确的，在实际工程中存在一些特例会失效)

Nyquist

Math Foundations

映射定理

设复变函数$F(s)=\dfrac{K\prod(s-z_i)}{\prod(s-p_i)},s=\sigma+jw\to F(s)=U+jV$

设F(s)为解析函数（除s的有限奇点外）$\Rightarrow$对于s平面上不通过F(s)奇点的任一条闭曲线$C_1$, 在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线 $\Tau_1$

Cauchy辐角原理

s沿着闭曲线$C_1$正向绕行一周后，F(s)辐角的改变量$\Delta \angle F(s)=2\pi\cdot(Z-P)$

Z为$C_1$内部零点F(s)个数，P为$C_1$内部极点F(s)个数

应用到此处：设s平面上的封闭曲线包围了复变函数F(s)的P个极点和Z个零点,并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点，则当复变量s沿封闭曲线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲按顺时针方向包围坐标原点Z-P周

Nyquist Criteria

开环传递函数$G(s)H(s)=\beta\dfrac{\prod(s-z_i)}{\prod(s-p_i)}$ ，闭环传递函数$T(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

设$F(s)=1+G(s)H(s)=1+\beta\dfrac{\prod(s-z_i)}{\prod(s-p_i)}\triangleq\dfrac{\prod(s-\lambda_i)}{\prod(s-p_i)}$

$\Rightarrow T(s)=\dfrac{G(s)\prod(s-\lambda_i)}{\prod(s-p_i)}$

$\Rightarrow $闭环系统极点即$F(s)$的零点，判定稳定性即找到$F(s)$的RHP零点数目即可

1. 在s-plane上取奈氏回线，则奈氏回线包含$F(s)$的所有RHP零点&极点

   奈氏回线：包围整个s-plane右侧平面的曲线，具体为一个按顺时针方向运动的封闭曲线，由整个虚轴和半径为∞的右半圆组成，圆心为原点

   

2. 绘制出s-plane奈氏回线在$F(s)$平面上的映射曲线

   • 当s沿虚轴由下而上运动，$s=jw|_{w=-\infty\to +\infty}$，在F(s)平面轨迹类比NyquistPlot即可

   • 当s在半径为∞的右半圆上运动，$s=\infty\cdot e^{i\theta}|_{\theta=\frac \pi 2\to -\frac \pi 2}$

     $F(s)=1+\beta\dfrac{\prod(s-z_i)}{\prod(s-p_i)}$，$s=r e^{i\theta}|_{\theta=0\to \frac \pi 2}$，取极限$r\to \infty$

     分母阶数$>$分子阶数：F(s)=1+0=1

     分母阶数$=$分子阶数：F(s)=1+β =常数

     上式表明：当s在在半径为∞的右半圆上运动，映射到 F(s)平面上为一个点，不影响对原点的包围性

3. 数出映射曲线绕原点顺时针转了N圈，根据Cauchy辐角原理：N=Z-P

   • Z=F(s)RHP-zeros，也是闭环系统RHP-poles
   • P=F(s)RHP-poles

4. $F(s)=1+G(s)H(s)$

   • F(s)绕原点旋转$\iff$G(s)H(s)绕(-1，0)旋转
   • F(s)极点=G(s)H(s)极点

$\Rightarrow$闭环系统不稳定极点数目$Z=N+P$

• N=开环传函G(s)H(s)映射曲线绕(-1,0)顺时针旋转圈数
• P=开环传函G(s)H(s) RHP极点数

闭环稳定$\iff N = -P$

若开环系统稳定：闭环稳定$\iff$开环映射曲线不包围(-1,0)

5. 修正Nyquist回线

   由于Cauchy辐角原理要求不经过零极点，则当G(s)H(s)在虚轴上存在开环零极点时需要以一个无穷小半圆绕过之，并重新绘制G(s)H(s)映射曲线，常常遇到的是位于原点的极点

   $F(s)=1+\beta\dfrac{\prod(s-z_i)}{s^v\prod(s-p_i)}$，$s=\epsilon e^{i\theta}|_{\theta=0\to \frac \pi 2}$，取极限$\epsilon\to0$

   $G(s)H(s)=\beta\dfrac{\prod(s-z_i)}{s^v\prod(s-p_i)}=K\dfrac{\prod(T_is+1)}{s^v\prod(\tau_i s+1)}|_{s=lim_{\epsilon\to0}\epsilon e^{i\theta}}$$=\dfrac K {\epsilon^v}e^{-jv\theta}|_{lim_{\epsilon\to0}}={\infty}e^{-jv\theta}$

   上式表明：平面上原点附近的无限小半圆映射到 F(s)平面上为半径无限大的圆弧，该圆弧的角度从$v\dfrac \pi 2$开始按顺时针方向转到 $-v\dfrac \pi 2$终止

6. N的快速计数

   为了方便计算G(s)H(s)映射曲线绕(-1,0)顺时针旋转圈数，定义$N_{+}\&N_{-1}$

   • 正穿越$N_{+}$：映射曲线向上穿越(-$\infty$，-1)区域次数
   • 负穿越$N_{-}$：映射曲线向下穿越(-$\infty$，-1)区域次数
   • $N=N_{+}-N_-$

   正穿越：相角减少；负穿越：相角增加

7. 实轴对称性

   由于零极点共轭，关于实轴对称&奈氏回线关于实轴对称，最终的映射曲线也关于实轴对称。在绘制映射曲线时，只需绘制虚轴 $s=0\to j \infty$和$s=\infty e^{i\theta}|_{\theta= \frac \pi 2}\to 0$的部分，剩余关于实轴对称即可

Bode

Relationship with Nyquist

Nyquist	Bode
单位圆	0dB 幅度线
负实轴	$-\pi$ 相位线
正穿越(-$\infty$，-1)区域	幅度>0dB时，相频曲线向下穿越$-\pi$线
负穿越(-$\infty$，-1)区域	幅度>0dB时，相频曲线向上穿越$-\pi$线

Bode Criteria

注意: 奈氏判据中, $w$是由 $-\infty \to +\infty$，伯德图中$w$是由 $0 \to +\infty$, 由对称性：对应的映射曲线绕(-1,0)顺时针旋转次数需要➗2修正

• 始于-180°往上是算半次负穿越
• 始于-180°往下是算半次正穿越
• $P\to\dfrac{-P}2$

闭环稳定$\iff$开环 Bode Plot中大于 0dB 区域，相频曲线穿越$-\pi$线正负次数之差 $N=\dfrac{-P}{2},P$ 为 G(s)H(s) 的RHP-poles数目

若开环系统稳定：闭环稳定$\iff$开环 Bode Plot中大于 0dB 区域，相频曲线穿越$-\pi$线次数（正负穿越次数之差）为零

Margin

用来衡量闭环系统的相对稳定性(Relative Stability)，分为增益裕度和相角裕度

Margin in Nyquist

Gain Margin(dB)

表示系统增益可以增大/需要减少多少倍，恰好达到临界稳定

• 相角剪切频率$w_g$：随$w$增大，开环映射曲线辐角达到$-\pi$的频率
• $K_g=\dfrac1{|G(s)H(s)|_{s=jw_g}},~GM=-20log(K_g)$

Phase Margin(°)

表示系统相角可以滞后/需要超前多少度数，恰好达到临界稳定

• 增益剪切频率：随$w$增大，开环映射曲线幅值达到$1$的频率(cut-off)

• $\gamma=180°+\phi(w_c),~其中\phi(w_c)=\angle(\dfrac 1 {G(s)H(s)})|_{s=jw_c}往往为负数,~PM=\gamma$

Margin in Bode

利用Bode和Nyquist的对应关系，从Bode Plot中快速得出GM&PM

直观快速得到 GM&PM

Stability Estimation by Margin

利用PM&GM的正负号判断系统的稳定性

Conclusion

结论：开环稳定时闭环稳定等价于PM>0且GM>0；开环不稳定系统时该准则失效

原因：开环稳定时无RHP开环极点，P=0，闭环稳定等价为Nyquist映射曲线不包围(-1,0)，这才能和PM>0&GM>0等价，而开环不稳定时不行(例如SpecialCase3)

Nyquist或Bode Criteria对任何系统始终成立

本质即衡量了奈氏回线的映射曲线距离包围(-1,0)有多近

值得指出：利用PM&GM正负判定稳定性是否成立和是否是最小相位系统无关（和最小相位系统有关的是：应用Bode定理利用零极点的模快速描绘Bode Plot），最小相位系统只是PM&GM二者统一，一个大于零另一个必然大于零，判断一个正负号即可判定系统闭环稳定性；不过最小相位系统因为没有RHP零极点，必然开环稳定，必然可应用该方法，而非最小相位系统仍然可能稳定(只有RHP零点情况)，仍可应用该方法

More：开环不稳定可以应用 PM、GM正负号判断吗？

对于开环不稳定的非最小相位系统，稳定的必要不充分条件是：GM<0&PM>0

即至少要包围(-1,0)一次，但是稳定裕度无法具体判断包围了几次

Special Cases

1. 幅频多次穿越0dB，$w_c$判定问题 & 相频多次穿越$-\pi$线，$w_g$判定问题

   • 幅频多次穿越0dB，存在多个不同的穿越频率，对应多个PM值
   • 相频多次穿越$-\pi$线，存在多个不同的截止频率，对应多个GM值

   PM&GM均取最小值，以得到最保守的稳定性估计

   本质即映射曲线什么时候离(-1,0)最近

   向量裕度：映射曲线到点(-1,0)的最近距离

   

2. 相频多次穿越$-\pi$线，可能出现条件稳定情况，GM失去意义

   这是由于(-1,0)在曲线左侧导致的，此时随着增益加大，其逐步向曲线右侧移动，不同时期曲线的稳定性不同，即较小增益可能不稳定而较大却增益稳定，GM失去其意义

   此时具体稳定性要根据Bode Criteria判断，Razavi书上提出对开环稳定系统，相频曲线穿越偶数次稳定，奇数次不稳定就是来源于此

   

3. 开环不稳定的非最小相位系统

   $开环传递函数L(s)=\dfrac{5(s+3)}{s(s-1)}$，增益裕量GM<0，相位裕量PM>0，但闭环系统稳定

Barkhausen’s Criteria

闭环系统当某个频率$w$使得整体phase shift 360°形成正反馈且 magnitude$\ge1$时，系统不稳定，等号处系统等谐震荡。对于负反馈系统：开环传递函数phase shift达到-180°且 magnitude$\ge1$

震荡的必要不充分条件（有些系统满足巴克豪森条件但不震荡）

表现在Bode Plot中：某些频率段上的曲线存在Gain>0&phase shift>180°，系统依然稳定（详见Special Circuits）

失效的原因可以从Bode Plot的构成来理解：Bode Plot虽然完全描绘了映射曲线的幅度、相角特性，但是忽略了零极点的相对位置特性，仅仅包含了零极点的模的信息，必然和Nyquist Criteria中的映射曲线平面相比，存在局限性

Special Circuits

1. 三阶CPPLL

   

   原点处存在两个极点，低频段按Barkhausen’s Criteria不稳定，实际稳定

2. 靠近的多个零极点

   

   中频段按照Barkhausen’s Criteria不稳定，实际稳定

   实际电路设计要求一定要把零极点推远且相互远离，不然很难分析！

值得指出：这两个都是开环稳定系统，仍然能用PM和GM均正的方法判断稳定性（前者因为PM、GM只看$w_c\&w_g$处，后者为SpecialCase2），只是Barkhausen’s Criteria失效；作为始终通用的Nyquist/Bode Criteria自然也成立